Variable aléatoire réelle sur \((\Omega,{\mathcal P}(\Omega))\) : application de \(\Omega\) dans \({\Bbb R}\)
(Fonction - Application, Univers)
On note \(X\) une variable aléatoire
Ensemble des valeurs prises par une variable aléatoire
Système complet d’évènements
Loi de probabilité
Variable aléatoire discrète
Variables aléatoires indépendantes
Variable aléatoire certaine
Variable aléatoire indicatrice
$$\sum_{k\in X(\Omega)}{\Bbb P}(X=k)={{1}}$$
Fonction d’une variable aléatoire
Définition :
Deux v.a. Discrètes \(X\) et \(Y\) sont indépendantes si et seulement si $$\forall A,B\subset{\Bbb R},\qquad P(X\in A\text{ et }Y\in B)=P(X\in A)P(Y\in B)$$
Définition :
Les v.a. Discrètes \(X_1,\ldots,X_m\) définies sur \((\Omega,{\mathcal F},P)\) sont indépendantes si les événements \(\{X_1\in A_1\},\{X_2\in A_2\},\ldots,\{X_m\in A_m\}\) sont indépendantes pour toutes parties \(A_1,\ldots,A_m\) de \({\Bbb R}\)
Définition :
On dit que la famille \((X_i)_{i\in{\Bbb N}}\) de v.a. Discrètes est indépendante si toute sous-famille finie est formée de v.a. Indépendantes
Proposition :
Les v.a. Discrètes \(X_1,\ldots,X_m\) sont indépendantes si $$\forall x_1\in X_1(\Omega)\ldots\forall x_m\in X_m(\Omega),\qquad P(X_1=x_1,\ldots,X_m=x_m)=\prod^m_{i=1}P(X_i=x_i)$$
(Evènements indépendants)
Si \(X_1,\ldots,X_m\) sont des v.a. Discrètes indépendantes et si \(f_1,\ldots,f_m\) sont des applications définies respectivement sur sur \(X_1(\Omega),\ldots,X_m(\Omega)\), alors \(f_1(X_1),\ldots,f_m(X_m)\) sont indépendantes en notant : $$f_i(X_i)=f_i\circ X_i:\begin{align}\Omega\overset{X_i}\longrightarrow&X(\Omega)\overset{f_i}\longrightarrow{\Bbb R}\\ \omega\longmapsto&X_i(\omega)\longmapsto f_i(X_i(\omega))\end{align}$$
Définition :
Une variable aléatoire discrète est intégrable si $$\underbrace{\sum_{x_k\in X(\Omega)}\lvert x_k\rvert P(X=x_k)}_{\text{existe toujours dans }{\Bbb R}_+\cup\{+\infty\} }\lt +\infty$$
(//Famille sommable - Fonction sommable)